773 zadań 576 rozwiązań 530 użytkowników
zaloguj się

1=(-1) - znajdź błąd w rozumowaniu

Zacznijmy od zapisania oczywistej równości:

1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}

Teraz korzystając ze znanego twierdzenia rozbijamy pierwiastek iloczynu na iloczyn pierwiastków:

\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{(-1)}\cdot \sqrt{(-1)}

Korzystając z własności liczb zespolonych: \sqrt{(-1)}=i, możemy zapisać

\sqrt{(-1)}\cdot \sqrt{(-1)}=i\cdot i=i^2

Wiadomo także, z kolejnej własności liczb zespolonych, że

i^2=-1

Zatem wykazaliśmy, że: 1=(-1)

Czy wiesz, gdzie występuje błąd w rozumowaniu?

1 rozwiązania

Pierwiastek o stopniu parzystym zachowuje się w następujący sposób:

\sqrt{a^2}=\left| a \right|\\

Dla naszego przykładu mamy:

\sqrt{1}=-1 \ \ \vee \ \ \sqrt{1}=1

Błąd w rozumowaniu wg mnie jest już w tym miejscu:

1=\sqrt{1}

Kontynuując można by zapisać:

1=\sqrt{1}=-1 \ \ \vee \ \ 1=\sqrt{1}=1\\ \ \\ 1=-1 \ \ \vee \ \ 1=1\\

Natomiast jeżeli byśmy trzymali się tej zasay: \sqrt{a^2}=\left| a \right|\\ otrzymalibyśmy:

\left| 1 \right|=\sqrt{1^2}=\sqrt{(-1)^2}=\left| -1 \right| \ \ \vee \ \ \left| 1 \right|=\sqrt{1^2}=\left| 1 \right|\\\ \\\left| 1 \right|=\left| -1 \right| \ \ \vee \ \ \left| 1 \right|=\left| 1 \right|\\

Dodaj nowe zadanie

Przypisane tagi