2 zadania z ciągów
Witam proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie 2 zadań z ciągów
1.dany jest ciąg an=4n-90\3
a oblicz 20 wyraz tego ciągu
b którym wyrazem tego ciągu jest liczba 50?
c ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg?
2.ciąg jest okreslony wzorem an=2n\5-8 (w liczniku 2n, w mianowniku 5 i to wszystko minus 8)
a którym wyrazem tego ciągu jest liczba 0
b czy wyrazami tego ciągu sa liczby 1\2, 1\3, 1\5 ?
c które wyrazy tego ciągu sa większe od 10 ?
d które wyrazy tego ciągu są mniejsze od 13 ?
- dodaj komentarz | dodaj rozwiązanie
- 2011-07-22, przez jarek123
1 rozwiązania
ZADANIE 1.
N – liczby naturalne
Dane:
an=( 4n-90)/3
Szukane:
a) a20,
b) n, dla którego an=50,
c) wyrazy ujemne ciągu
Rozwiązanie:
a)
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an=a1+(n-1)r, gdzie r –różnica
Analogicznie:
a20=a1+(20-1)r=a1+19r
Szukam pierwszego wyrazu danego ciągu:
a1=(4*1-90)/3=(4-90)/3= -86/3
Aby obliczyć r, wyznaczam także drugi wyraz ciągu. Różnica a2 i a1będzie szukanym r.
a2=(4*2-90)/3= (8-90)/3= -82/3
a2-a1=r
to:
r= (-82/3)-(-86/3)=-82/3+86/3=4/3
Teraz mogę już obliczyć dwudziesty wyraz tego ciągu, podstawiając do wyprowadzonego powyżej wzoru.
a20=(-86/3)+19*4/3= -86/3+76/3= -10/3= - 3 i 1/3
Odpowiedź: Dwudziesty wyraz tego ciągu wynosi -3 i 1/3.
b)
an=50
Więc:
(-86/3)+(n-1)*4/3 = 50
-86/3+4/3 n – 4/3 = 50
-90/3+4/3 n = 50
-30 + 4/3 n = 50 / +30
4/3 n = 80 / :4/3
n= 60
Odpowiedź: Sześćdziesiąty wyraz tego ciągu przyjmuje wartość 50.
c)
Szukamy zatem ilości wszystkich an<0. Można to osiągnąć np. ustalając, który z kolei wyraz jest pierwszym wyrazem o wartości dodatniej – wówczas będzie można postawić tezę, iż wszystkie od niego mniejsze są wyrazami ujemnymi. Przyjmujemy, że pierwszą liczbą dodatnią jest 0, sprawdzamy więc, czy istnieje an=0. Jeśli w wyniku otrzymamy liczbę nie naturalną, będziemy jednak mogli przyjąć, że dla n najbliższego otrzymanemu wynikowi ciąg przyjmuje wartość większą od 0.
Obliczając an=0 wykorzystam obliczenia podane powyżej i „przejdę” od razu do 3. punktu obliczeń, modyfikując go adekwatnie do treści zadania.
-30+4/3 n = 0 / :+30
4/3 n = 30 / :4/3
n= 90/4= 22,5
Sprawdźmy więc, jaką wartość przyjmuje wyraz o n najbliższym 22,5, więca23 (zaokrąglamy zgodnie z zasadami 22,5 w górę).
a23=a1+22r
a23=(-86/3)+22*4/3= -86/3+88/3= 2/3 >0
Tym samym, wiemy, że wyrazy a1-a22 włącznie są wyrazami ujemnymi, jest więc ich 22.
Można też dokonać wyliczeń prostszym sposobem, szukając an<0:
-30+4/3 n <0 / +30
4/3 n < 30 / :4/3 n ma należeć do N
n < 22,5 więc n należy do zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22}
Odpowiedź: Ciąg przyjmuje wartości ujemne dla 22 wyrazów (wyrazya1-a22).
ZADANIE 2.
Dane:
an= 2n/5 – 8
Szukane:
a) n, dla którego an=0
b) sprawdzić, czy ciąg przyjmuje wartości: ½, 1/3, 1/5
c) an>10
d) an<13
Rozwiązanie:
a)
Korzystam ze wzorów podanych w poprzednim zadaniu.
a1=2/5-8= -7,6
a2= 4/5-8= -7,2
a2-a1=r
r=-7,2+7,6= 0,4
-7,6+0,4(n-1)=0
-7,6-0,4+0,4n=0
-8+0,4n=0 / +8
0,4n= 8 / :0,4
n= 20
Odpowiedź: Dwudziesty wyraz tego ciągu przyjmuje wartość 0.
b)
Korzystam z wyliczeń z podpunktu a. Sprawdzając, czy dane liczy należą do wyrazów ciągu, muszę sprawdzić, czy n, dla którego an będzie równe tym liczbom, będzie należało do zbioru liczb naturalnych. Jeśli tak – ciąg przyjmuje taką wartość dla wyrazu o tej wartości. Jeśli wyjdzie mi liczba nie należąca do zbioru liczb naturalnych, będzie to oznaczało, że ciąg nie przyjmuje takiego wyrazu (albowiem n może być tylko i wyłącznie liczbą naturalną!).
CZY: -8+0,4n=1/2 więc 0,4n= ½+8 więc 0,4n= 8,5 więc n= 8,5:0,4=21,25 NIE NALEŻY DO N
CZY: -8+0,4n=1/3 więc 0,4n= 1/3+8 więc 0,4n= 25/3 więc n= 25/3:4/10=250/12= 20 i 10/12 NIE NALEŻY DO N
CZY: -8+0,4n=1/5 więc 0,4n= 1/5+8 więc 0,4n= 8,2 więc n= 8,2:0,4= 20,5 NIE NALEŻY DO N
Odpowiedź: Te liczby nie są wyrazami tego ciągu.
c)
Szukamy an>10. Wykorzystam wyliczenia podpunktu a, modyfikując je odpowiednio, oczywiście.
-8+0,4n>10 / +8
0,4n>18 / :0,4
n>45
Tym samym, wyrazy an, gdzie n>45 a więc n=46, n=47 itd. są większe od 10.
Sprawdzenie:
a45= -7,6+44*0,4=-7,6+17,6=10
a46= -7,6+45*0,4=-7,6+18=10,4
Odpowiedź: Wyrazy an gdzie n>45 i n jest liczbą naturalną różną od 0są wyrazami większymi od 10.
d)
per analogiam, do podpunktu c, zmieniając adekwatnie do treści zadania.
-8+0,4n<13 / +8
0,4n < 21
n < 52,5
Tym samym, wyrazy an, gdzie n < 52,5, a więc n=52, n= 51 itd. są mniejsze od 13.
Sprawdzenie:
a53= -7,6+52*0,4= -7,6+20,8=13,2
a52= -7,6+51*0,4= -7,6+20,4= 12,8
Odpowiedź: Wyrazy an, gdzie n<52,5 i n jest liczbą naturalną różną od 0 są wyrazami mniejszymi od 13.
- dodaj komentarz do rozwiązania
- 2011-08-26, przez MartaG
