funkcje
zad.1. dana jest funkcja:y=2x2(to jest do potegi 2)+3x-5. napisz wzor funkcji w postaci kanonicznej i iloczynowej. na podstawie wykresu tej funkcji okresl jej dziedzine,zbior wartosci,przedzialy monotonicznosci i przedzial argumentow dla ktorych wartosci sa ujemne. zad.2. dla jakich wartosci parametru m funkcja y=(m-3)x2(do potegi 2)-2x+1 przyjmuje tylko wartosci dodatnie? zad.3. wyznacz wspolczynniki b i c funkcji y=-2x2(do potegi2)+bx+c znajac jej miejsca zerowe 1 i -2. bardzo prosze o pomoc!!!!!!!!!!!!!!
- dodaj komentarz | dodaj rozwiązanie
- 2011-05-09, przez majka4
1 rozwiązania
Uwaga: Znak„^” oznacza znak potęgi. Znak „&” oznacza znak nieskończoności. Znak D oznacza deltę. „pzX” oznacza pierwiastek z X. Znak E oznacza „należy do”.
ZADANIE 1.
DANE:
y= 2x^2 +3x - 5
SZUKANE:
Wzór kanoniczny,iloczynowy, Dz, ZW, przedziały, dla których y<0
ROZWIĄZANIE:
y= 2x^2 +3x – 5
a= 2
b= 3
c= -5
Postać kanoniczna – wzór: y= a(x-p)^2+q, gdzie p= -b/2a , q= -D/4a , D= b^2 – 4ac
p= -3/4 =-0,75
D= 9 + 40= 49
q= -49/8 =-6,125
Postać kanoniczna danej funkcji: y= 2(x+0,75)^2 – 6,125
Ponieważ D>0, odpowiedni wzór na postać iloczynową, to: y= a(x-x1)(x-x2), gdzie x1,x2– miejsca zerowe i gdzie x1= -b – pzD / 2a , x2= -b + pzD / 2a , pzD>0
pz D = pz49 = 7
x1= -3-7/4= -10/4= -2,5
x2= -3+7/4= 4/4= 1
Postać iloczynowa danej funkcji: y= 2(x+2,5)(x-1)
Wiemy zatem, że funkcja ta ma kształt paraboli o wierzchołku w punkcie W(p,q) a więctu odpowiednio W(-0,75 , -6,125), jej ramiona skierowane są w górę (bowspółczynnik a>0), a miejsca zerowe (czyli argumenty, dla których funkcjaprzyjmuje wartość 0) przyjmuje dla x= -2,5 oraz x= 1. Sporządzamy wykres tej funkcji:
Odczytujemy:
Dz = R
ZW =<-6,125, +&)
f(x)<0dla x E (-2,5 , 1)
ODPOWIEDŹ:Postać kanoniczna danej funkcji, to y= 2(x+0,75)^2 – 6,125 . Postać iloczynowadanej funkcji to y= 2(x+2,5)(x-1). Dziedzina tej funkcji, to R, zbiór wartościzaś, to zbiór lewostronnie zamknięty a prawostronnie otwarty <-6,125,+&), zaś funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów należących dozbioru obustronnie otwartego (-2,5 , 1) f(x)<0 dla x E (-2,5 , 1).
ZADANIE2.
DANE:
y=(m-3)x^2-2x+1
SZUKANE:
m, dla którego y>lub=0
ROZWIĄZANIE:
y=(m-3)x^2-2x+1
a=m-3
b=-2
c=1
Żebyfunkcja przyjmowała wyłącznie wartości dodatnie, jej wierzchołek musi znajdowaćsię na osi OY, ergo, jej wierzchołek musi znajdować się w punkcie o współrzędnychW(p,q), gdzie q=0, a co za tym idzie, współczynnik a musi być dodatni (bofunkcja z założenia musi mieć ramiona skierowane w górę, inaczej bowiem niebędzie przyjmowała wyłącznie wartości dodatnich), delta zaś powinna być równa 0(jako że jedynym argumentem, dla którego funkcja przyjmie wartość 0, będzieargument o wartości p; krócej mówiąc, jedynym miejscem zerowym tej funkcji zzałożenia będzie wyłącznie jej wierzchołek). A zatem:
p= -b/2a
q= -D/4aale wiemy, że q=0
D=b^2-4ac
p=2/2(m-3)= 1/m-3
D=4-4[(m-3)*1]= 4-4m+12=16-4m
q= 4m-16/4(m-3)= 4(m-4)/4(m-3)= m-4/m-3
ale wiemy,że q=0, więc:
m-4/m-3= 0
m-4=0 lubm-3=0 lub m-4 i m-3=0 – tu SPRZECZNOŚĆ!
A zatem,rozważamy tylko m-3=0 lub m-4=0. W pierwszym przypadku m=3, w drugim m=4.
Przypadek1. m=3
p= 1/3-3=0
więc W(0,0)
a=3-3=0
D= 16-12=4 NIE SPEŁNIA WARUNKÓW, a więc ten przypadek odpada.
Przypadek2. m=4
p= 1/ 4-3=1
więcW(1,0)
a=4-3=1
D=16-16=0
TO JESTWŁAŚCIWY PRZYPADEK.
Sporządzamywykres funkcji y= x^2-2x+1, o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku,zarazem stanowiącym jedyne miejsce zerowe, w punkcie W(1,0).
ODPOWIEDŹ:Funkcja przyjmuje wartości wyłącznie dodatnie dla parametru m=4.
ZADANIE3.
DANE:
y= -2x^2+bx+c
x1= 1
x2 = -2
SZUKANE:
b,c
ROZWIĄZANIE:
y= -2x^2+bx+c
a=-2
x1= 1
x2 = -2
Ze wzorówViete’a wynika, że:
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
Podstawiam:
1-2=-b/-2
1*(-2)=c/-2
b/2=-1więc b= -2
c/-2=-2więc c=4
ODPOWIEDŹ:Stała b wynosi dla tej funkcji b=-2, zaś stała c: c=4.
- dodaj komentarz do rozwiązania
- 2011-08-24, przez MartaG
