773 zadań 576 rozwiązań 530 użytkowników
zaloguj się

Objętość stożka

Oblicz objętość stożka, którego kąt rozwarcia ma miarę równą 60 stopni, a pole jego powierzchni bocznej jest równe 12,5\pi .

1 rozwiązania

W pierwszej kolejności należy utworzyć rysunek obrazujący problem zadania:

Wiadomo, że: \left\{ P_b=\pi rl\ (1)\\ \alpha = 60^{\circ}\ (2)\\ V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot h \ (3)\right.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że:

h^2+r^2=l^2

Korzystając z równania na pole powierzchni bocznej (1) obliczamy:

l=\frac{P_b}{\pi r}\ (4)

Następnie korzystając z faktu, że kąt alfa jest określony (2) obliczamy kąt pomiędzy wysokością stożka a ścianą boczną:

\beta = \frac{\alpha }{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }

Wykorzystując własności trygonometryczne, oraz fakt, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym obliczamy wysokość stożka:

\frac{r}{h}=\text{tg}{\beta }=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ h=\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3r}{\sqrt{3}}=r\sqrt{3}\ (5)

Podstawiamy do równości Pitagorasa równania 4 i 5:

h^2+r^2=l^2\\ (r\sqrt{3})^2+r^2=\left( \frac{P_b}{\pi r} \right)^2\\ 3r^2+r^2=\frac{P_b^2}{\pi^2 r^2}\\ 4r^2=\frac{P_b^2}{\pi^2 r^2}\ /\cdot r^2\\ 4r^4=\frac{P_b^2}{\pi^2}\\ 2r^2=\frac{P_b}{\pi}\\ r^2=\frac{P_b}{2\pi}

Ostatnim etapem jest podstawienie wyniku do wzoru na objętość stożka:

V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \cancel{\pi} \cdot \frac{P_b}{2\cancel{\pi} }\cdot \sqrt{\frac{P_b}{2\pi }}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot 12,5\cdot \sqrt{\frac{6,25}{\pi }}=\frac{\sqrt{3\pi }\cdot 12,5\cdot 2,5}{6\pi }=\frac{31,25\sqrt{3\pi }}{6\pi }

Dodaj nowe zadanie

Przypisane tagi