773 zadań 576 rozwiązań 530 użytkowników
zaloguj się

Oblicz całkę nieoznaczoną

Stosując wzór na całkowanie przez części, oblicz całkę:

\int{\frac{x\ln{x+\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}}}dx

1 rozwiązania

\int{\frac{x\ln{x+\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}}}dx=\int{ (\frac {xlnx} {\sqrt{1+x^2}} + \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}})}dx=\int {\frac {xlnx}{\sqrt{1+x^2}}} dx + \int {1} dx = \\ lnx\sqrt{1+x^2}-\frac 1 2 ln ((1+x^2)^2-1)+x+C

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

\int {\frac {xlnx}{\sqrt{1+x^2}}} dx = \|u' = \frac {x} {\sqrt{1+x^2}} \ \ u = \int {\frac {x} {\sqrt{1+x^2}}}dx\\ v = lnx \ \ v' = \frac 1 x\| =\\ lnx \sqrt {1+x^2} - \int {\frac {\sqrt{1+x^2}}{x}}dx =lnx\sqrt{1+x^2}-\frac 1 2ln((1+x^2)^2-1)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

\int {\frac {x} {\sqrt{1+x^2}}}dx = \|t^2 = 1+x^2\\ 2tdt = 2xdx\\ dx = \frac {tdt} x\|=\int {\frac {tdt} {t} = t+C = \sqrt{1+x^2}+C}

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

\int {\frac {\sqrt{1+x^2}}{x}}dx = \|t^2 = 1+x^2\\x^2 = t^2 - 1\\ 2tdt = 2xdx\\ dx = \frac {tdt} x \| = \int {\frac {t}{t^2-1}}dt=\frac 1 2 ln(t^2-1)+C = \frac 1 2 ln((1+x^2)^2-1)+C

Dodaj nowe zadanie

Przypisane tagi