797 zadań 607 rozwiązań 564 użytkowników
zaloguj się

Oblicz granicę ciągu

Oblicz granicę następującego ciągu liczbowego dla n\to \inft :

a_{n}=\left( 1-\frac{1}{2^2} \right)\left( 1-\frac{1}{3^2} \right)\left( 1-\frac{1}{4^2} \right)\ldots \left( 1-\frac{1}{n^2} \right)

2 rozwiązania

Podany wyżej wzór na wyraz ciągu:
a_{n}=\frac{n+1}{2n}
można też udowodnić indukcyjnie.

Po pierwsze wzór jest prawdziwy dla a_{2}:
a_{2}=1-\frac{1}{2^{2}}=\frac{2+1}{2\cdot 2}

Po drugie, zakładając że wzór jest prawdziwy dla a_{n} sprawdzam czy jest tak dla a_{n+1}:
a_{n+1}=a_{n}(1-\frac{1}{(n+1)^{2}})=\frac{n+1}{2n}\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}=\\ =\frac{(n+1)(n^{2}+2n+1-1)}{2n(n+1)^{2}}=\frac{(n+1)(n^{2}+2n)}{2n(n+1)^{2}}=\\ =\frac{\cancel{(n+1)}(n+2)\cancel{n}}{2\cancel{n}(n+1)^{\cancel{2}}}=\frac{(n+1)+1}{2(n+1)}

Dalszy ciąg rozwiązania jak powyżej.

Na samym początku należy rozbić każdą różnicę, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

a_{n}=\left( 1-\frac{1}{2^2} \right)\left( 1-\frac{1}{3^2} \right)\left( 1-\frac{1}{4^2} \right)\ldots \left( 1-\frac{1}{n^2} \right)=\left( 1-\frac{1}{2} \right)\left( 1+\frac{1}{2} \right)\left( 1-\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{3} \right)\ldots \left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( 1+\frac{1}{n} \right)

Po obliczeniu różnic otrzymujemy:

a_{n}=\frac{1}{2}\cdot \underbrace{\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}}_{1}\cdot \underbrace{\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}}_{1}\cdot \frac{5}{4}\ \ldots \ \underbrace{\frac{(n-1)+1}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n}}_{1}\cdot \frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}\frac{n+1}{n}

Obliczając granicę ciągu liczbowego otrzymujemy:

\lim_{n \to \infty}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{2}\frac{n+1}{n}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{2}\frac{1+\frac{1}{n}}{1}}=\frac{1}{2}

Dodaj nowe zadanie

Przypisane tagi