773 zadań 576 rozwiązań 530 użytkowników
zaloguj się

Oblicz granicę funkcji

Oblicz granicę:

\lim_{x \to \infty}{x\left( 2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{-1}{x}} \right)}

1 rozwiązania

Na samym początku należy podstawić za t=\frac{1}{x}. Otrzymujemy wtedy następujące przekształcenia (granica z nieskończoności zamienia się na granicę w zerze):

\lim_{x \to \infty}{\frac{2^{\frac{1}{x}}-2^{-\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}}=\lim_{t \to 0}{\frac{2^t-2^{-t}}{t}}

Otrzymaną granicę można rozbić na następującą sumę:

\lim_{t \to 0}{\frac{2^t-2^{-t}}{t}}=\lim_{t \to 0}{\frac{2^t-2^{-t}-1+1}{t}}=\lim_{t \to 0}{\left( \frac{2^t-1}{t}+\frac{2^{-t}-1}{-t} \right)}=\\ \lim_{t \to 0}{\left( \frac{2^t-1}{t}\right)}+\lim_{t \to 0}{\left(\frac{2^{-t}-1}{-t} \right)}

Wykonajmy następujące podstawienia:

f(t) = 2^t-1\\ g(l) = 2^{l}-1, \ l=-t

Otrzymujemy zatem granicę, która jest równa z definicji pochodnej funkcji w punkcie:

\lim_{t \to 0}{\left( \frac{f(t)}{t}\right)}+\lim_{l \to 0}{\left(\frac{g(l)}{l} \right)}=f'(0)+g'(0)

Pochodna funkcji f oraz g wynosi:

2^x-1=2^x\ln{2}

W punkcie zero, suma pochodnych da w efekcie: 2\ln{2}

Dodaj nowe zadanie

Przypisane tagi