szeregi - Oblicz sumę szeregu

Oblicz sumę szeregu

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$

dodaj komentarz | dodaj rozwiązanie
2009-01-28, przez sebastian

1 rozwiązania

Należy zauważyć, że:

$\forall n\in\mathbb{N}:\ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Sumę szeregu można wyrazić zatem:

$S_N =\sum_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)} =\bigg(1-\underbrace{\frac{1}{2}\bigg) + \bigg(\frac{1}{2}}_{0}-\underbrace{\frac{1}{3}\bigg)+\bigg(\frac{1}{3}}_{0}-\underbrace{\frac{1}{4}\bigg) +}_{0}\ \ldots\ \underbrace{+ \bigg(\frac{1}{N-1}}_{0}-\frac{1}{N}\bigg) =1-\frac{1}{N}$

Zatem, suma szeregu wynosi:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}S_N =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}\bigg(1-\frac{1}{N}\bigg)=1$

dodaj komentarz do rozwiązania
2009-01-28, przez sebastian

Oblicz sumę szeregu

1 rozwiązania

Przypisane tagi

Debeściaki