Pokrycie liczb wymiernych

Wyobraźmy sobie zbiór otwartych przedziałów $\subset R$ , które w sumie pokrywają wszystkie liczby wymierne $\in R$ . Pytanie: czy suma długości tych przedziałów musi być nieskończona?

Odpowiedź brzmi: nie.

Okazuje się, że suma długości przedziałów nie tylko nie musi być nieskończona, ale może być dowolnie bliska 0. Wystarczy ponumerować liczby wymierne: $w_{1}, w_{2}, \ldots$ , każdej liczbie wymiernej przypisując pokrywający ją przedział długości $\frac{\varepsilon}{2^{i}}$ (gdzie $\varepsilon \in R$ - dowolnie mała, ustalona liczba rzeczywista). Suma długości tak zdefiniowanych przedziałów wynosi oczywiście $\varepsilon$ .

(zadanie i rozwiązanie pochodzą z wykładu Scotta Aaronsona:
http://www.scottaaronson.com/democritus/lec1.html)

Majca.pl

Pokrycie liczb wymiernych

Pokrycie liczb wymiernych

ROZWIĄZANIA

KOMENTARZE