797 zadań 607 rozwiązań 564 użytkowników
zaloguj się

Przekątna graniastosłupa prawidłowego

Cztery sześciany o przekątnej równej 4\sqrt{3} ułożono w taki sposób, aby wszystkie ze sobą stykały się jedną z krawędzi i tworzyły graniastosłup prawidłowy czworokątny.

Oblicz długość przekątnej utworzonego graniastosłupa.

Uwaga, rozwiązania nie są sprawdzone!
Asia
-ciri

1 rozwiązania

OK, to narysujmy ten graniastosłup:

Rozwiązanie 1:
=========d
Mamy obliczyć przekątną graniastosłupa "D". Jeśli przyjrzymy się graniastosłupowi bliżej to zauwaymy że "D" jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego pozostałe boki (przyprostokątne) to "b" i "a". Jeśli będziemy mieli "a" i "b" to mamy w kieszeni także "D" :]
"b" jest przekątną kwadratu który ma dokładnie dwa razy dłuższy bok niż jedna ścianka pojedynczego sześcianiku, a zatem przekątna "b" tego kwadratu będzie też dwa razy większa niż przekątna boku pojedynczego sześcianu:
b = 2\cdot (a\sqrt{2}).
Teraz "a". "a" jest po prostu bokiem takiego pojedynczego sześianiku. Ze wzoru na przekątną sześcianu możemy łatwo policzyć "a":
d = a\sqrt{3}\\ 4\sqrt{3} = a\sqrt{3}  \text{      } /  :\sqrt{3}\\ \\ a = 4
więc teraz "b" będzie:
b = 2\cdot (4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}

Mamy "a", mamy "b", możemy więc policzyć "D":
D^{2} = a^{2} +b^{2}\\ D^{2} = 4^{2} +(8\sqrt{2})^{2}\\ D^{2} = 16 + 64\cdot 2 = 16 + 128 = 144\\ D = \sqrt{144} \\D = 12

Rozwiązanie 2:
=========
"a" liczymy tak jak w rozwiązaniu 1, czyli wynosi ono 4.

Wzór na przekątną prostopadłościanu (bo nasz graniastosłup prawidołowy czworokątny podpada pod definicje prostopadłościanu) to:
D = \sqrt{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}
gdzie a, b, c to długości boków prostopadłościanu.
U nas te długości wynoszą odpowiednio: a, 2a, 2a (bo podstawą jest kwadrat), więc D będzie:
D = \sqrt{a^{2} + (2a)^{2}+ (2a)^{2}} = \sqrt{a^{2} + 4a^{2}+ 4a^{2}} = \sqrt{9a^{2}}=\sqrt{9}a=3a\\ D = 3\cdot 4 \\ D = 12

Dodaj nowe zadanie

Przypisane tagi