773 zadań 576 rozwiązań 530 użytkowników
zaloguj się

Rozwiąż nierówność

Dane są funkcje:

f_{1}(x)=5^{2x}+2^{2x} \ \ ,\ \ f_{2}(x)=5^{x-4}+2^{x+2}\ \ ,\ \ x\in \Re

Rozwiąż nierówność:

f_{2}(x+2)\geq f_{1}\left( \frac{1}{2}x \right)

1 rozwiązania

Na samym początku dokonujemy podstawienia wyrażeń funkcji do nierówności:

5^{x+2-4}+2^{x+2+2}\geq 5^{2\cdot \frac{1}{2}x}+2^{2\cdot \frac{1}{2}x}\\ 5^{x-2}+2^{x+4}\geq 5^x+2^x\\ \frac{5^x}{5^2}+2^x\cdot 2^4\geq 5^x+2^x\ \ /\div 2^x\\ \frac{\left( \frac{5}{2} \right)^x}{5^2}+2^4\geq \left( \frac{5}{2} \right)^x+1

Dokonujemy podstawienia:

\left( \frac{5}{2} \right)^x=t

Stąd:

\frac{t}{25}+16\geq t+1\ \ /\cdot 25\\ t+400\geq 25t+25\\ 375\geq 24t\\ t\leq \frac{375}{24}

Podstawiamy wcześniejsze wyrażenie:

\left( \frac{5}{2} \right)^x\leq \frac{\cancel{375}^{125}}{\cancel{24}^{8}}\\ \left( \frac{5}{2} \right)^x\leq \frac{5^3}{2^3}\\ \left( \frac{5}{2} \right)^x\leq \left( \frac{5}{2} \right)^{3}

Korzystając z własności funkcji wykładniczych dla a>1:

a^n\leq a^m\Leftrightarrow n\leq m

możemy opuścić ułamki i zapisać nierówność w następujący sposób:

x\leq 3

co jest rozwiązaniem zadania.

Dodaj nowe zadanie

Przypisane tagi