Rozwiąż nierówność wykładniczą

Rozwiąż nierówność:

$\left( \frac{5}{6}+\frac{13}{36}+\ldots +\frac{2^n+3^n}{6^n}+\ldots \right)^{\left| x \right|}<\left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{x^2-2}{2}}$

Zadanie pochodzi z Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych (r. 1997, mat-fiz)

Sumę w nawiasie można rozpisać na sumę dwóch ciągów geometrycznych:

$\frac{2^n+3^n}{6^n}=\left( \frac 1 3 \right)^n+\left( \frac 1 2 \right)^n$

$\left( \frac{5}{6}+\frac{13}{36}+\ldots +\frac{2^n+3^n}{6^n}+\ldots \right)^{\left| x \right|} =\left( \frac{1}{3}+\frac 1 2 + \left( \frac 1 3 \right)^2 + \left( \frac 1 2 \right)^2 + ... + \left( \frac 1 3 \right)^n + \left( \frac 1 2 \right)^n+...\right)^{\left| x \right|}=\left( S_1+S_2 \right)^{\left| x \right|}$

Wzór na sumę ciągu geometrycznego, dla $\left| q \right|\ <\ 1$ :

$S=\frac {a_1} {1-q}\\ \ \\ S_1 = \frac {\frac 1 3} {1-\frac 1 3}=\frac 1 2\\ \ \\ S_2 = \frac {\frac 1 2} {1-\frac 1 2}=1$

Podstawiamy obliczone sumy:

$\left( \frac{5}{6}+\frac{13}{36}+\ldots +\frac{2^n+3^n}{6^n}+\ldots \right)^{\left| x \right|}=\left( 1+\frac 1 2 \right) ^{\left| x \right|}=\left( \frac 3 2 \right) ^{\left| x \right|}$

i teraz możemy wrócić do początkowej nierówności z treści zadania:

$\left( \frac{5}{6}+\frac{13}{36}+\ldots +\frac{2^n+3^n}{6^n}+\ldots \right)^{\left| x \right|} \ < \ \left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{x^2-2}{2}}\\ \ \\ \left( \frac 3 2 \right) ^{\left| x \right|} \ < \ \left( \frac{9}{4} \right)^{\frac{x^2-2}{2}}\\ \\ \ \\ \left( \frac 3 2 \right) ^{\left| x \right|} \ < \ \left( \frac{3}{2} \right)^{x^2-2}\\ \\$

Należy rozpatrzeć 2 przypadki (f. wykładnicza różnowartościowa, można opuścić podstawy):

a) $x \ \geq \ 0\\ \ \\$ :

$x \ < \ x^2-2\\ \ \\ x^2-x-2 \ > \ 0\\ \ \\ x \ \in \ (2 \ , \ \infty)$

b) $x \ < \ 0$ :

$-x \ < \ x^2-2\\ \ \\ x^2+x-2 \ > \ 0\\ \ \\ x \ \in \ (- \infty \ , \ -2)$

Odp. $x\ \in \ (-\infty \ , \ -2) \ \cup \ (2 \ , \ \infty)$

Majca.pl

Rozwiąż nierówność wykładniczą

Rozwiąż nierówność wykładniczą

ROZWIĄZANIA

KOMENTARZE