indukcja matematyczna - Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej

Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej

Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej równość:

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3} +\ldots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

dodaj komentarz | dodaj rozwiązanie
2008-11-30, przez sebastian

1 rozwiązania

Dla n=1 wzór jest prawdziwy, co łatwo sprawdzić:

$\left. L=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2} \\ P=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \right\} L=P$

Dla n+1 elementów otrzymujemy:

$L = \overbrace{\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3} +\ldots +\frac{1}{n(n+1)}}^{\frac{n}{n+1}} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\\ =\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^{\cancel{2}}}{\cancel{(n+1)}(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}\\ P = \frac{(n+1)}{n+1+1}=\frac{n+1}{n+2}$

Z powyższych przekształceń wynika, że: L=P

c.n.d.

dodaj komentarz do rozwiązania
2008-11-30, przez sebastian

Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej

1 rozwiązania

Przypisane tagi

Debeściaki