Udowodnij, że zachodzi dana nierówność

Udowodnij, że dla wszystkich $n\in \aleph \setminus \left{ 0,1 \right}$ zachodzi dana nierówność:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{n^2-1}<1-\frac{2n+1}{2n(n+1)}$

1. Najpierw sprawdzamy warunek dla n=2

$\left. L=\frac{1}{2^2-1}=\frac{1}{3}=\frac{4}{12}\\ P=1-\frac{4+1}{4(2+1)}=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} \right\} L<P$

2. Załóżmy, że prawdziwa jest nierówność dla $n\in \aleph \left{ 0,1 \right}$ :

$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{n^2-1}<1-\frac{2n+1}{2n(n+1)}$

Możemy zatem dodać do obu stron nierówności:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\ldots +\frac{1}{n^2-1} + \frac{1}{(n+1)^2-1}<1-\frac{2n+1}{2n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)^2-1}\\ P=1-\frac{2n+1}{2n(n+1)}+\frac{1}{n^2+2n+1-1}=1-\frac{2n+1}{2n(n+1)}+\frac{1}{n(n+2)}$

Sprowadzamy teraz do wspólnego mianownika dwa ułamki:

$P=1-\frac{(2n+1)(n+2)}{2n(n+1)(n+2)}+\frac{2(n+1)}{2n(n+2)(n+1)}=1+\frac{2n+2-(2n^2+4n+n+2)}{2n(n+1)(n+2)}=\\ =1+\frac{2n\cancel{+2}-2n^2-4n-n\cancel{-2}}{2n(n+1)(n+2)}=1+\frac{\cancel{n}(-2n-3)}{2\cancel{n}(n+1)(n+2)}=1-\frac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}=\\ =1-\frac{2(n+1)+1}{2(n+1)((n+1)+1)}=P(n+1)$

Co należało udowodnić.

Majca.pl

Udowodnij, że zachodzi dana nierówność

Udowodnij, że zachodzi dana nierówność

ROZWIĄZANIA

KOMENTARZE