Wykaż podzielność liczby przez 2055

Wykaż, że liczba jest podzielna przez .

Trzeba mnożyć, mnożyć i jeszcze raz MNOŻYĆ!!!!!!!!!!!!!!!

-Matematyczka

Uwaga, rozwiązanie nie sprawdzone!
Asia
-ciri

• dodaj komentarz  |  dodaj rozwiązanie
• 2009-03-01, przez sebastian

1 rozwiązania

No więc zamiast mnożyć proponuję wyciągać ;)

Najpierw zorprawmy się z tą całą liczbą 2055 i rozłóżmy ją na czynniki piersze - po sprawdzenie podzielności prze 2,3,4,5,6 wychodzi że liczba ta dzieli się na 3 i 5. Po podzieleniu jej przez 3 i 5 zostaje 137 kóre jest liczbą pierwszą. Mamy więc 2055 = 3*5*137. Jeśli pokażemy, że każdy ze składników wymienionej w zadaniu sumy dzieli się przez każdą z tych liczb to wtedy, jak wiadomo, cała suma też się dzieli no i jesteśmy w domu.
To do dzieła.

1*3*5*7*...*2003*2005 można zapisać również jako 1*3*5*7*...*135*137*139*...*2003*2005. Albo przestawiając 3, 5 i 137 na początek iloczynu (nawiasy nawiasem mówiąc i pisząc są tylko dla lepszej "wizualizaji" - tak naprawdę nie są potrzebne w takim iloczynie): (137*3*5)*(1*7*...*135*139*...*2003*2005).

Podobnie 2*4*6*8*...*2004*2006 można zapisać jako 2*4*6*8*10*12*...*272*274*276*...*2004*2006 albo po wiciągnięciu "3" z "6" (6=2*3), "5" z "10" (6=2*5) i "137" z "274" (274=2*137), jako:
(137*3*5)*(2*4*3*8*2*12*...*272*2*276*...*2004*2006).

Wtedy nasza suma wygląda tak: (137*3*5)*(1*7*...*135*139*...*2003*2005) + (137*3*5)*(2*4*3*8*2*12*...*272*2*276*...*2004*2006) = (po wyciągnięciu wspólnego czynnika 3*5*137):
3*5*137*(1*7*...*135*139*...*2003*2005 + 2*4*3*8*2*12*...*272*2*276*...*2004*2006)
= 2055*(1*7*...*135*139*...*2003*2005 + 2*4*3*8*2*12*...*272*2*276*...*2004*2006).

A zatem przedstawiliśmy naszą sumę jako iloczyn liczy 2055 i czegoś jeszcze pokazując tym samym, że jest ona podzielna przez 2055 c.b.d.u!

• dodaj komentarz do rozwiązania
• 2009-06-14, przez ciri