Wyprowadzić wzór jawny na An.

Samo twierdzenia przytoczyłem wcześniej:
http://www.majca.pl/zadanie/jawny-wzor-na-sn-oraz-udowodnic-indukcyjnie-jego-poprawnosc,144
Teraz skupię się na samym rozwiązaniu. Spostrzegawczy użytkownik zauważy na podstawie rekurencyjnego wzoru na a_n

, że kolejne wyrazy rekurencji będą postaci: 2, 0, -2, 0, 2, 0, -2, ...
I nie są do tego potrzebne, żadne skomplikowane metody. :)
Jednak dla poprawności politycznej przedstawiam pełne rozwiązanie:

Równanie charakterystyczne dla powyższej rekurencji ma postać:
t^2+1=0

Jak wiadomo to równie ma dwa rozwiązania ( $\alpha ,\beta$ ) w zbiorze liczb zespolonych:
$\alpha =i\\ \beta =-i$

Z twierdzenia o jawnym wzorze na n-ty wyraz rekurencji liniowej wiemy, że dla naszego równia będzie ono postaci:
$a_n=A\alpha ^n+B\beta ^n$ , gdzie $A,B\in \Re$ są stałymi zdeterminowanymi, przez a_0

.

Aby je wyznaczyć rozwiązujemy układ równań:
$\left\{ 2=A+B\\ 0=Ai-Bi \right.$

Z pierwszego równania wyliczamy

i wstawiamy do drugiego:
$0=2i-Bi-Bi\\ 0=2i(1-B)\\ B=1$

Zatem:
A=B=1

Składając wszystko razem otrzymujemy wzór jawny na a_n

Jednak takie rozwiązanie normalnemu człowiekowi nic nie mówi, zatem popracujemy nad nim troszkę wykorzystując wzór de Moivre'a na potęgowanie liczb zespolonych. Potrzebna jest też znajomość postaci trygonometrycznej liczb zespolonych. Komu brakuje takowej, tego odsyłam do podręczników.
Wzór de Moivre'a:
$z^n=\left| z \right|^n(\cos{n\varphi }+i\sin{n\varphi })$ , $z\in \Im$

W trochę skomplikowany sposób zapiszemy, że:
$i^n=\cos{\frac{\pi}{2}n}+i\sin{\frac{\pi}{2}n}$
oraz
$(-i)^n=\cos{\frac{3\pi}{2}n}+i\sin{\frac{3\pi}{2}n}$

Wstawiamy to do naszego wyliczonego wcześniej wzoru na a_n

i otrzymujemy:
$a_n=\cos{\frac{\pi}{2}n}+i\sin{\frac{\pi}{2}n}+\cos{\frac{3\pi}{2}n}+i\sin{\frac{3\pi}{2}n}$

Spostrzegawcza osoba zauważy, że:
$\sin{\frac{\pi}{2}n}+\sin{\frac{3\pi}{2}n}=0$

Jak ktoś tego nie widzi, to używa wzoru:
$\sin{x}+\sin{y}=2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$

Otrzymujemy:
$a_n=\cos{\frac{\pi}{2}n}+\cos{\frac{3\pi}{2}n}$

Korzystamy ze wzoru:
$\cos{x}+\cos{y}=2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$

I otrzymujemy:
$a_n=\cos{\frac{\pi}{2}n}+\cos{\frac{3\pi}{2}n}=2\cos{\pi n}\cos{-\frac{\pi}{2}n}=2\cos{\pi n}\cos{\frac{\pi}{2}n}$

Znów można zauważyć, że $\cos{\pi n}$ , będzie równy -1, gdy $\cos{\frac{\pi}{2}n}$ będzie równe zero. Zatem nasz wzór możemy uprościć do:
$a_n=2\cos{\frac{\pi}{2}n}$
(Nie mogę skojarzyć, żadnego wzoru, który by wykonał wyjaśnioną powyżej sytuację, jak ktoś zna to niech napisze w komentarzach).
Otrzymany wzór jest najprostszą postacią jawnego wzoru na a_n

Majca.pl

Wyprowadzić wzór jawny na An.

ROZWIĄZANIA

KOMENTARZE