Zad.dom.z matmy.Geometria
- ewe555552 | 2010-06-04
- Kategoria: Szkoła podstawowa » Geometria » Układ współrzędnych
- Rozwiązania: (2), Komentarze (0)
Zad.dom.z matmy.Geometria
Dwa różne punkty na prostej wyznaczają jeden odcinek: AB.
Trzy różne punkty leżące na tej samej prostej tworzą trzy odcinki: AB, AC, BC.
Cztery różne punkty leżące na tej samej prostej są końcami już sześciu odcinków: AB, AC, BC, AD, BD, CD.
a) A ile odcinków wyznacza pięć różnych punktów leżących na tej samej prostej?
b) A sześć?
c)Zbierz informacje, robiąc na kartce tabelkę:(załącznik). Czy widzisz jakąś prawidłowość? Wyjaśnij, skąd ona się bierze.
d)Czy i jak można szybko ustalić, ile odcinków wyznacza 10 różnych punktow leżących na tej samej prostej? Wyjaśnij.
e)Czy i jak można szybko ustalić, ile odcinków wyznacza 20 różnych punktow leżących na tej samej prostej? Wyjaśnij.
Możesz pomagać sobie rysunkami pomocniczymi, rysując na kartce prostą i leżące na niej punkty, wyznaczajace odcinki.
Pomyśl nad tą metodą i wyjaśnij na czym i w jaki sposób polega.
Czekam z niecierpliwością!!! DAJĘ NAJ!!! Piszcie też na wiadomości prywatne.
ROZWIĄZANIA
- czecho97 | 2010-10-05
- Rozwiązanie: dobrze ma ona !!
Rozwiązanie:
a)
Odcinki: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |AC|, |AD|, |AE|, |BD|, |BE|, |CE| a więc pięć punktów wyznacza 10 odcinków.
b)
Odcinki: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |EF|, |AC|, |AD|, |AE|, |AF|, |BD|, |BE|, |BF|, |CE|, |CF|, |DF| a więc sześć punktów wyznacza 15 odcinków.
c)
Ilość punktów | Ilość odcinków
2 - 1
3 - 3
4 - 6
5 - 10
6 - 15
Zauważam, że ilość odcinków dla danej ilości punktów zwiększa się o rosnącą wprost proporcjonalnie sumę, tj. jeśli przyjmę, że:
Pn – ilość punktów, On – ilość odcinków utworzona przez Pn ilość punktów
to dostrzegamy, że:
dla P2 jest O2=1
dla P3 jest O3=3, czyli O2+2
dla P4 jest O4=6, czyli O3+3
dla P5 jest O5=10, czyli O4+4
dla P6 jest O6=15, czyli O5+5
stąd możemy wyciągnąć prawidłowość:
dla Pn jest On=O(n-1)+n-1
>>chodzi mi o to, że to, co w nawiasie, jest w indeksie dolnym<<
Prawidłowość ta bierze się stąd, że dodanie jednego punktu na danej prostej zwiększa o określoną sumę ilość odcinków utworzonych przez tak zwiększoną ilość punktów.
d) Wiedząc, że n=10, można łatwo obliczyć szukaną wartość, korzystając z ustalonego w podpunkcie c ustalonego wzoru:
dla P10 jest O10=O9+9, ponieważ jednak trzeba by w ten sposób szukać wartości O aż do ostatniej obliczonej, tj. wartości O6, lepiej skupić się na stosunku między O2 a kolejnymi wartościami O, obliczanymi przy użyciu O2.
A więc:
O3=O2+2
O4=O2+2+3=O2+5
O5=O2+2+3+4=O2+9
O6=O2+2+3+4+5=O2+14
Z czego wynika, iż:
O(2+n)=O2+2n, gdzie n=1
O(2+n)+1=O2+2n+3n, gdzie n=1 <więc dodajemy tyle n pomnożonych przez kolejne liczby naturalne, ile wynosi liczba za nawiasem, tzn. jeśli jest to 1, to dodajemy tylko 3n, jeśli 2, to 3n i 4n, jeśli 3, to 3n, 4n, 5n itd.>
a więc:
O10=O(2+1)+7=O2+2+3+4+5+6+7+8+9=1+44=45
ODP. 10 różnych punktów wyznacza zatem 45 odcinków.
e) Korzystając z metody wyjaśnionej w podpunkcie d, podstawiamy:
O20=O(2+1)+17=O2+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=
1+189=190
ODP. 20 różnych punktów wyznacza zatem 190 odcinków.
a)
Odcinki: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |AC|, |AD|, |AE|, |BD|, |BE|, |CE| a więc pięć punktów wyznacza 10 odcinków.
b)
Odcinki: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |EF|, |AC|, |AD|, |AE|, |AF|, |BD|, |BE|, |BF|, |CE|, |CF|, |DF| a więc sześć punktów wyznacza 15 odcinków.
c)
Ilość punktów | Ilość odcinków
2 - 1
3 - 3
4 - 6
5 - 10
6 - 15
Zauważam, że ilość odcinków dla danej ilości punktów zwiększa się o rosnącą wprost proporcjonalnie sumę, tj. jeśli przyjmę, że:
Pn – ilość punktów, On – ilość odcinków utworzona przez Pn ilość punktów
to dostrzegamy, że:
dla P2 jest O2=1
dla P3 jest O3=3, czyli O2+2
dla P4 jest O4=6, czyli O3+3
dla P5 jest O5=10, czyli O4+4
dla P6 jest O6=15, czyli O5+5
stąd możemy wyciągnąć prawidłowość:
dla Pn jest On=O(n-1)+n-1
>>chodzi mi o to, że to, co w nawiasie, jest w indeksie dolnym<<
Prawidłowość ta bierze się stąd, że dodanie jednego punktu na danej prostej zwiększa o określoną sumę ilość odcinków utworzonych przez tak zwiększoną ilość punktów.
d) Wiedząc, że n=10, można łatwo obliczyć szukaną wartość, korzystając z ustalonego w podpunkcie c ustalonego wzoru:
dla P10 jest O10=O9+9, ponieważ jednak trzeba by w ten sposób szukać wartości O aż do ostatniej obliczonej, tj. wartości O6, lepiej skupić się na stosunku między O2 a kolejnymi wartościami O, obliczanymi przy użyciu O2.
A więc:
O3=O2+2
O4=O2+2+3=O2+5
O5=O2+2+3+4=O2+9
O6=O2+2+3+4+5=O2+14
Z czego wynika, iż:
O(2+n)=O2+2n, gdzie n=1
O(2+n)+1=O2+2n+3n, gdzie n=1 <więc dodajemy tyle n pomnożonych przez kolejne liczby naturalne, ile wynosi liczba za nawiasem, tzn. jeśli jest to 1, to dodajemy tylko 3n, jeśli 2, to 3n i 4n, jeśli 3, to 3n, 4n, 5n itd.>
a więc:
O10=O(2+1)+7=O2+2+3+4+5+6+7+8+9=1+44=45
ODP. 10 różnych punktów wyznacza zatem 45 odcinków.
e) Korzystając z metody wyjaśnionej w podpunkcie d, podstawiamy:
O20=O(2+1)+17=O2+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=
1+189=190
ODP. 20 różnych punktów wyznacza zatem 190 odcinków.
Rozwiązanie:
a)
Odcinki: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |AC|, |AD|, |AE|, |BD|, |BE|, |CE| a więc pięć punktów wyznacza 10 odcinków.
b)
Odcinki: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |EF|, |AC|, |AD|, |AE|, |AF|, |BD|, |BE|, |BF|, |CE|, |CF|, |DF| a więc sześć punktów wyznacza 15 odcinków.
c)
Ilość punktów | Ilość odcinków
2 - 1
3 - 3
4 - 6
5 - 10
6 - 15
Zauważam, że ilość odcinków dla danej ilości punktów zwiększa się o rosnącą wprost proporcjonalnie sumę, tj. jeśli przyjmę, że:
Pn – ilość punktów, On – ilość odcinków utworzona przez Pn ilość punktów
to dostrzegamy, że:
dla P2 jest O2=1
dla P3 jest O3=3, czyli O2+2
dla P4 jest O4=6, czyli O3+3
dla P5 jest O5=10, czyli O4+4
dla P6 jest O6=15, czyli O5+5
stąd możemy wyciągnąć prawidłowość:
dla Pn jest On=O(n-1)+n-1
>>chodzi mi o to, że to, co w nawiasie, jest w indeksie dolnym<<
Prawidłowość ta bierze się stąd, że dodanie jednego punktu na danej prostej zwiększa o określoną sumę ilość odcinków utworzonych przez tak zwiększoną ilość punktów.
d) Wiedząc, że n=10, można łatwo obliczyć szukaną wartość, korzystając z ustalonego w podpunkcie c ustalonego wzoru:
dla P10 jest O10=O9+9, ponieważ jednak trzeba by w ten sposób szukać wartości O aż do ostatniej obliczonej, tj. wartości O6, lepiej skupić się na stosunku między O2 a kolejnymi wartościami O, obliczanymi przy użyciu O2.
A więc:
O3=O2+2
O4=O2+2+3=O2+5
O5=O2+2+3+4=O2+9
O6=O2+2+3+4+5=O2+14
Z czego wynika, iż:
O(2+n)=O2+2n, gdzie n=1
O(2+n)+1=O2+2n+3n, gdzie n=1 <więc dodajemy tyle n pomnożonych przez kolejne liczby naturalne, ile wynosi liczba za nawiasem, tzn. jeśli jest to 1, to dodajemy tylko 3n, jeśli 2, to 3n i 4n, jeśli 3, to 3n, 4n, 5n itd.>
a więc:
O10=O(2+1)+7=O2+2+3+4+5+6+7+8+9=1+44=45
ODP. 10 różnych punktów wyznacza zatem 45 odcinków.
e) Korzystając z metody wyjaśnionej w podpunkcie d, podstawiamy:
O20=O(2+1)+17=O2+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=
1+189=190
ODP. 20 różnych punktów wyznacza zatem 190 odcinków.
a)
Odcinki: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |AC|, |AD|, |AE|, |BD|, |BE|, |CE| a więc pięć punktów wyznacza 10 odcinków.
b)
Odcinki: |AB|, |BC|, |CD|, |DE|, |EF|, |AC|, |AD|, |AE|, |AF|, |BD|, |BE|, |BF|, |CE|, |CF|, |DF| a więc sześć punktów wyznacza 15 odcinków.
c)
Ilość punktów | Ilość odcinków
2 - 1
3 - 3
4 - 6
5 - 10
6 - 15
Zauważam, że ilość odcinków dla danej ilości punktów zwiększa się o rosnącą wprost proporcjonalnie sumę, tj. jeśli przyjmę, że:
Pn – ilość punktów, On – ilość odcinków utworzona przez Pn ilość punktów
to dostrzegamy, że:
dla P2 jest O2=1
dla P3 jest O3=3, czyli O2+2
dla P4 jest O4=6, czyli O3+3
dla P5 jest O5=10, czyli O4+4
dla P6 jest O6=15, czyli O5+5
stąd możemy wyciągnąć prawidłowość:
dla Pn jest On=O(n-1)+n-1
>>chodzi mi o to, że to, co w nawiasie, jest w indeksie dolnym<<
Prawidłowość ta bierze się stąd, że dodanie jednego punktu na danej prostej zwiększa o określoną sumę ilość odcinków utworzonych przez tak zwiększoną ilość punktów.
d) Wiedząc, że n=10, można łatwo obliczyć szukaną wartość, korzystając z ustalonego w podpunkcie c ustalonego wzoru:
dla P10 jest O10=O9+9, ponieważ jednak trzeba by w ten sposób szukać wartości O aż do ostatniej obliczonej, tj. wartości O6, lepiej skupić się na stosunku między O2 a kolejnymi wartościami O, obliczanymi przy użyciu O2.
A więc:
O3=O2+2
O4=O2+2+3=O2+5
O5=O2+2+3+4=O2+9
O6=O2+2+3+4+5=O2+14
Z czego wynika, iż:
O(2+n)=O2+2n, gdzie n=1
O(2+n)+1=O2+2n+3n, gdzie n=1 <więc dodajemy tyle n pomnożonych przez kolejne liczby naturalne, ile wynosi liczba za nawiasem, tzn. jeśli jest to 1, to dodajemy tylko 3n, jeśli 2, to 3n i 4n, jeśli 3, to 3n, 4n, 5n itd.>
a więc:
O10=O(2+1)+7=O2+2+3+4+5+6+7+8+9=1+44=45
ODP. 10 różnych punktów wyznacza zatem 45 odcinków.
e) Korzystając z metody wyjaśnionej w podpunkcie d, podstawiamy:
O20=O(2+1)+17=O2+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=
1+189=190
ODP. 20 różnych punktów wyznacza zatem 190 odcinków.
Brak komentarzy
KOMENTARZE