773 zadań 576 rozwiązań 530 użytkowników
zaloguj się

Zbadaj zbieżonść ciągu

Stosując kryterium porównawcze zbadaj zbieżność ciągu:

\sum_{n=1}^{\inft}{\frac{1}{n}\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)}

1 rozwiązania

Kryterium porównawcze:
jeżeli wyrazy szeregu \sum_{n=1}^{\inft }{a_{n}} spełniają od pewnegoN nierówność \left| a_{n} \right|\leq b_{n} i szereg \sum_{n=1}^{\inft }{b_{n}} jest zbieżny, to również szereg \sum_{n=1}^{\inft }{a_{n}} jest zbieżny.

Pokażę że: \left| \frac{1}{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \right| \leq \frac{1}{n\sqrt{n}}
\left| \frac{1}{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \right|=\frac{1}{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{1}{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{n}\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq \frac{1}{n}\frac{1}{2\sqrt{n}}\leq\frac{1}{n\sqrt{n}}

Skądinąd wiadomo, że szeregi harmoniczne \sum_{n=1}^{\inft }{\frac{1}{n^{\alpha }}} są zbieżne dla każdego \alpha > 1. To oznacza, że szereg
\sum_{n=1}^{\inft }{\frac{1}{n\sqrt{n}}} także jest zbieżny, co kończy dowód.

Dodaj nowe zadanie

Przypisane tagi